Une borne explicite de complexité des itinéraires de parité pour les trajectoires non bornées de Syracuse
Abstract
Nous considérons la transformation accélérée d’un facteur deux T(n) = n/2 si n est pair et T(n) = (3n+ 1)/2 sinon. Pour toute trajectoire non bornée issue de N ≥1, nous démontrons une borne inférieure explicite sur la complexité factorielle de son itinéraire binaire de parité : si N+ 1 ≤2K , alors pN (L) ≥1 + ⌊(L−K)/log2(3/2)⌋pour L≥K. La preuve combine une majoration élémentaire de la croissance et l’injectivité du codage de parité sur les classes résiduelles modulo 2L. En particulier, la pente asymptotique inférieure est au moins 1/log2(3/2) >5/3. Nous discutons la portée exacte de cette borne et son rapport à une borne 5/3 signalée dans une formalisation informatique récente. La priorité bibliographique de la constante améliorée n’est pas établie. Mots-clés : conjecturedeCollatz,Syracuse,complexitéfactorielle,codagedeparité,dynamique 2-adique. MSC 2020 : 11B83, 37B10, 68R15.
BibTeX
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RIS
TY - UNPB
TI - Une borne explicite de complexité des itinéraires de parité pour les trajectoires non bornées de Syracuse
AU - Hassan Douzi
PY - 2026
DA - 2026/10/25
PB - HAL
UR - https://hal.science/hal-05838310v1
AB - Nous considérons la transformation accélérée d’un facteur deux T(n) = n/2 si n est pair et T(n) = (3n+ 1)/2 sinon. Pour toute trajectoire non bornée issue de N ≥1, nous démontrons une borne inférieure explicite sur la complexité factorielle de son itinéraire binaire de parité : si N+ 1 ≤2K , alors pN (L) ≥1 + ⌊(L−K)/log2(3/2)⌋pour L≥K. La preuve combine une majoration élémentaire de la croissance et l’injectivité du codage de parité sur les classes résiduelles modulo 2L. En particulier, la pente asymptotique inférieure est au moins 1/log2(3/2) >5/3. Nous discutons la portée exacte de cette borne et son rapport à une borne 5/3 signalée dans une formalisation informatique récente. La priorité bibliographique de la constante améliorée n’est pas établie. Mots-clés : conjecturedeCollatz,Syracuse,complexitéfactorielle,codagedeparité,dynamique 2-adique. MSC 2020 : 11B83, 37B10, 68R15.
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