Un índice universal de desigualdad: U = 1 - e/P, P = ∏ 1/(1-g_n). De Γ(x)Γ(3-x) a la función generatriz de HHI, Shannon, Rényi y Gini
- 1Independente researcher, Granada, Spain
Abstract
Introducimos el producto P(g)=∏n≥11/(1−gn) para una partici\'on ∑gn=1, 0≤gn<1, con L(g)=logP=−∑log(1−gn)=∑k≥1Sk/k, donde Sk=∑gnk, y el \'indice U=1−e/P=1−e1−L∈[0,1). El producto P tiene un \'infimo universal e, el cual se alcanza asint\'oticamente en la partici\'on igualitaria infinitesimal gn=1/N→0 con N→∞, y un m\'aximo ∞ en el monopolio absoluto. La familia geom\'etrica gn=(1−r)rn−1 produce C(r)=1/(1−r;r)∞, con C(0.5)≈3.462746619 y C(rπ)=π para rπ≈0.6284337970. El caso aritm\'etico (arm\'onico) gn=1/n(n+1) produce Cφ=πcsc(π/φ)≈3.3706903036 a partir de la funci\'on f(x)=Γ(x)Γ(3−x)=(2−x)(1−x)πcsc(πx). El \'indice U es aditivo, estrictamente Schur-convexo, verifica el principio de Pigou-Dalton, es continuo y no satura. Se extiende a densidades continuas mediante L(g)=∫−log(1−g(x))dx y sus coeficientes de Taylor corresponden a los momentos Sk, por lo que act\'ua como funci\'on generatriz del HHI=S2, el \'indice de Simpson, Simpson inverso, la dominancia de Berger-Parker gmax=limk→∞Sk1/k, la entrop\'ia de R\'enyi Hq, Shannon H1, Theil, Tsallis, los n\'umeros de Hill, el coeficiente de variaci\'on CV2 y el \'indice de Atkinson. Mientras el coeficiente de Gini satura a 1 en distribuciones de cola infinita, U distingue anal\'iticamente valores como 0.1936 frente a 0.2150. La expansi\'on para el momento k=3 requiere la funci\'on G de Barnes.
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@misc{guerrero2026índice,
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RIS
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